ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ
Пример из области экономики
.
Пример из области экономики
Позвольте мне показать то же самое применительно к экономике,
взяв в качестве примера простейший случай. Рассмотрим фирму, стремящуюся к
максимизации своей прибыли, которая продаёт продукцию в соответствии с кривой
спроса, причём цена является невозрастающей функцией продаваемого количества.
Предположим далее, что для выпуска продукции необходимо затратить один, два или
девяносто девять видов различных ресурсов. Ради простоты будем считать, что
производственная функция, связывающая объёмы затрат и выпуска, является
гладкой и вогнутой.
Экономист, мыслящий в стиле Маха, будучи учёным-позитивистом,
заинтересованным попросту в регистрации и систематизации наблюдаемых фактов,
мог бы в принципе перенести на перфокарты информацию о 99 функциях спроса,
связывающих количество каждого ресурса, покупаемого фирмой, с 99 переменными,
отражающими цены на ресурсы. Какой, колоссальной задачей было бы хранение
массивов информации, определяющих 99 различных поверхностей в стомерном
пространстве! Однако на самом деле 99 поверхностей не являются независимыми. В
действительности достаточно знать единственную «родительскую»
поверхность, для того чтобы иметь возможность получить путём расчётов точную
информацию о 99 «детях». Каким же образом становится возможной такая
громадная экономия в описании? Да в силу того факта, что наблюдаемые кривые
спроса, которые великий шведский экономист предпоследнего поколения Густав
Кассель считал неделимыми атомами в теоретическом арсенале экономиста, в
действительности являются решениями задачи максимизации прибыли! При обычных
условиях регулярности эти решения представляют собой функции, обратные
семейству частных производных функции совокупного дохода, который определяется
как произведение объёма продукции (при данных объёмах затрат всех ресурсов) на
цену спроса, по которой эта продукция будет продана. При условии гладкости и
строгой вогнутости эта «родительская» функция дохода имеет своими
«детьми» матрицу частных производных второго порядка размерности
99х99, которая является симметричной и отрицательно определенной. Легко
доказать, что эти функции могут быть однозначно обращены в форму нового
семейства «детей» с теми же самыми свойствами. 99 таких
«детей» не могут не иметь «родительской» функции, которую,
если бы она никогда не существовала, мы должны были бы создать, подобно
Пигмалиону. Математически это выглядит так:
где
— гладкая, строго вогнутая «регулярная функция дохода.
Необходимыми условиями максимума будут
Если, кроме того, матрица Гесса вторых частных производных
является отрицательно определённой,, то уравнений (2) достаточно для максимума.
Отсюда вытекают обратные соотношения, которые могут интерпретироваться как
частные производные сопряженной функции Хотеллинга-Роя Н., а именно:
Отсюда следует, что при
наши переменные удовлетворяют неравенству
Можно сказать и больше. Хотя мне трудно представить себе
характер поверхностей даже в трёхмерном пространстве, я могу уверенно заявить
на основе вышесказанного, что повышение цены на любой ресурс при сохранении остальных
цен постоянными определённо приведёт к снижению спроса на этот ресурс со
стороны фирмы, т.е. дvi / дрi < 0. Такой банальный результат мог бы предвидеть любой, кто вникнет в ситуацию и спросит себя' "Предположим, я был бы последним простаком среди предпринимателей. Что я стал бы делать, чтобы сохранить по возможности большую прибыль в случае подорожания одного из ресурсов?
Здесь здравый смысл и высшая математика оказываются в согласии.
Однако все мы знаем о парадоксе Гиффена, в соответствии с которым повышение
цены на картофель — основную еду бедных ирландских крестьян — может снизить их
жизненный уровень настолько, что заставит покупать скорее больше, чем меньше
картофеля. В этом случае сам здравый смысл обнаруживается только под прожектором
математики.
С помощью математики я могу видеть свойство 99-мерных поверхностей,
скрытое от простого глаза. Если повышение цены удобрений (только их одних)
всегда приводит к увеличению закупок некоей фирмой чёрной икры, то из одного
этого факта я могу предсказать результат следующего эксперимента, который
никогда не проводил сам и по которому не располагаю никакими данными наблюдений:
повышение цены на одну только икру приведет к росту закупок фирмой удобрений. В
термодинамике такие условия взаимности или интегрируемости известны как
условия Максвелла. В экономике они известны как условия Хотеллинга — в честь
Гарольда Хотеллинга, сформулировавшего их в 1932 г. (Hotelling, 1932).
Одна из привлекательных сторон научной деятельности состоит
в том, что мы все карабкаемся на небеса на плечах своих предшественников.
Экономика, подобно физике, имеет своих героев, и букву «Н» я
использовал в своих математических уравнениях не в честь сэра Уильяма
Гамильтона (Hamilton), а скорее в честь Гарольда Хотеллинга (Hotelhng). Ведь
именно его работа столь сильно вдохновляла меня, когда я начинал свою карьеру
Примерно в это же время покойный Генри Шульц пытался эконометрическими методами
проверить соответствие условии интегрируемости Хотеллинга эмпирическим данным
(Schultz, 1938).
Имеются еще и другие предсказуемые условия определенности,
касающиеся того, насколько описанные «перекрестные эффекты» должны
быть слабыми по сравнению с «собственными эффектами» повышения цен,
однако я не буду отнимать у аудитории время на их обсуждение. Упомяну лишь об
одном условии: знаки всех главных миноров должны чередоваться.
В качестве последней иллюстрации черной магии, посредством
которой формула максимума позволяет получить четкие выводы относительно
сложной системы с большим числом переменных, позвольте напомнить о работах, в
которых я сформулировал и обобщил принцип, известный в физике как принцип Ле
Шателье (Samuelson, 1947, 1958, 1960а). Этот принцип был обнародован почти сто
лет тому назад французским физиком, который занимался термодинамикой, развивая
в ней направление, связанное с именем Гиббса. Принцип не отличается большой
ясностью. Треть века тому назад, когда я зачитывался различными трактатами по
физике, мое математическое ухо не могло различить, какую мелодию в них играют.
Если вы сегодня возьмете большинство книг по физике, возможно, вас постигнет та
же участь. Обычно в них используются невразумительные телеологические
аргументы. Например, можно прочесть нечто подобное: «Если вы наложите
внешнее ограничение на систему, находящуюся в равновесии, то она перейдет в
новое состояние равновесия, позволяющее поглотить изменение» (или
«противодействовать ему», или «подстроиться под него» или
«минимизировать его»).
В свое время я был поражен замечанием, сделанным одним из
моих преподавателей в Гарварде, Эвином Бидвеллом Уилсоном Уилсон учился у
Уилларда Гиббса в Йеле и плодотворно работал во многих областях математики и
физики. Его учебник высшей математики использовался как стандартное пособие в
течение десятилетий. Ему принадлежит капитальная доработка лекций Гиббса по
векторному анализу. Он написал один из первых учебников по аэродинамике. Он
был другом Р. А. Фишера и экспертом по математической статистике и демографии.
Наконец, он рано заинтересовался работами Парето и стал читать лекции по
математической экономике в Гарварде. Моя более ранняя формулировка неравенства
(4) появилась в значительной мере благодаря лекциям Уилсона по термодинамике.
В частности, на меня сильное впечатление произвело его заявление, что тот факт,
что повышение давления сопровождается уменьшением объема, — не столько теорема
о системе термодинамического равновесия, сколько математическая теорема о
вогнутых вверх поверхностях или отрицательно определенных квадратичных
формах. Вооружившись этими сведениями, я вознамерился осмыслить принцип Ле
Шателье.
Позвольте мне привести общепринятую формулировку этого
принципа. «Сожмите резиновый шар, и его объем уменьшится. Сравните,
однако, как сокращается его объем при двух разных условиях эксперимента. Сначала
представьте себе, что его поверхность изолирована от окружающего мира, так что
так называемая порожденная теплота не может теряться. Во втором случае снова
сожмите резиновый шар, однако пусть его температура уравняется с температурой
в помещении. Тогда, в соответствии с принципом Ле Шателье, сокращение объема в
случае, когда система изолирована, будет меньшим, чем во втором случае, когда
температура в конце концов станет постоянной». Более круто нисходящая
кривая (тонкая линия) на рис. 2 показывает связь между давлением,
откладываемым по вертикальной оси, и объемом, откладываемым по горизонтальной
оси, которая превалирует при увеличении давления в условиях изоляции. Более
пологая кривая (жирная линия), проходящая через ту же точку А, показывает связь
давления и объема при изотермическом измерении. Сущность принципа Ле Шателье
заключается именно в том, что тонкая кривая должна быть более крутой, чем
жирная кривая. Используя принятые в термодинамике обозначения, можно записать:
где индекс t означает постоянство температуры, a s
показывает, что речь идет об изолированном (адиабатическом или изоэнтропическом
изменении.
Рис. 2
Но какое отношение все это имеет к экономике? Воистину, нет
более трагической фигуры, чем экономист или бывший инженер, пытающиеся
вымучивать аналогии между понятиями физики и экономики. Сколько же довелось
мне прочесть скучнейших страниц, на которых автор занимался поиском в экономике
чего-то такого, что соответствует энтропии или тому или иному виду энергии! Бессмысленные
«законы», такие, как «закон сохранения покупательной
способности», представляют собой сомнительное подражание важному
физическому закону сохранения энергии. А когда экономист ссылается на принцип
неопределенности Гейзенберга применительно к миру социальных явлений, это в
лучшем случае следует рассматривать как оборот речи или как игру слов, а не
как правомерное применение соотношений квантовой механики.
Однако если в качестве примера максимизирующей системы вы
возьмете фирму-монополиста, использующую 99 видов ресурсов, то окажется, что
можно увязать ее структурные связи с теми, которые превалируют в
термодинамической системе, максимизирующей энтропию. Давление и объем, а для
данного случая — абсолютная температура и энтропия, связаны друг с другом тем же
отношением сопряженности или двойственности, что и ставка заработной платы с
количеством труда или земельная рента с земельной площадью. Рис. 2 теперь может
выполнять двойную службу, описывая экономические связи в точности так же, как
он описьшал связи термодинамические. Теперь по вертикальной оси откладывается
р1, — цена первого ресурса. По горизонтальной оси откладывается объем этого
ресурса v1. Здесь можно говорить о системе с 99 переменными, но я надеюсь, что
вы простите мне, если я буду рассматривать более простой случай двух
переменных, скажем, труда и земли.
Как и в случае резинового шара, мы представим себе эксперимент
при двух различных условиях. В первом случае мы повышаем цену первого ресурса
(труда) р1, зафиксировав на постоянном уровне объем второго ресурса (земли)
v1, как, например, в краткосрочном случае, рассмотренном Маршаллом, когда
может меняться только предложение труда.
Наклон тонкой кривой, проходящей через точку А, показывает,
что рост р1 влечет за собой снижение v1.
Во втором случае мы повысим р1 на ту же величину, но сохраним
на прежнем уровне р2. И снова у монополиста, максимизирующего прибыль, в
качественном плане может быть только одна реакция: будет закуплен меньший
объем v1, как это показывает отрицательный наклон жирной кривой, проходящей
через точку А. Теперь можно сформулировать некое утверждение, которое можно
назвать принципом Ле Шателье-Самуэльсона: жирная кривая долговременного
приспособления при постоянной цене второго ресурса (и, конечно, при объеме
закупок второго ресурса, mutatis mutandis, измененном так, чтобы восстановить
равновесие, отвечающее максимуму прибыли) должна иметь менее крутой наклон или
большую эластичность, чем тонкая кривая, описывающая реакцию со стороны
спроса, когда объем затрат второго ресурса зафиксирован. Математически это
означает, что
Я включил знаки равенства, чтобы учесть случай, когда объемы
потребления двух ресурсов в производстве могут быть полностью независимы. В
этом соотношении примечательно то, что указанные неравенства будут выполняться
вне зависимости от того, будут ли эти два ресурса взаимными дополнителями, как,
например, насосы для распыления удобрений и инсектициды, или субститутами,
такими как органические и минеральные удобрения. Если это заинтересует
слушателя, то он может попробовать привести интуитивную проверку данного
утверждения в указанных противоположных случаях.
Принцип Ле Шателье находит разнообразное применение не
только в теории производства, но и в общей теории ограниченного рационирования.
.
